10 preguntes sobre aquest tema, en ordre aleatori.
Pregunta 1 / 10Encerts: 0
Quin és el vector normal (perpendicular) al pla d'equació general π:3x−4y+2z−5=0?
En l'equació implícita del pla Ax+By+Cz+D=0, els coeficients de x,y,z(A,B,C) coincideixen exactament amb les components del vector normal al pla.
Dos vectors u i v no nuls són perpendiculars (ortogonals) si i només si:
El producte escalar és u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos(α). Com que el cosinus de 90∘ és zero, el producte escalar s'anul·la.
Com es pot trobar un vector que sigui simultàniament perpendicular a dos vectors diferents u i v?
Una propietat fonamental del producte vectorial és que dona com a resultat un vector que és ortogonal al pla format per u i v. S'utilitza molt per trobar el vector normal d'un pla.
Quina condició s'ha de complir perquè tres vectors u, v i w siguin coplanaris (estiguin en el mateix pla)?
Si el determinant (producte mixt) de tres vectors és zero, significa que són linealment dependents i, per tant, no formen un volum. Es troben en el mateix pla.
Què representa geomètricament el mòdul del producte vectorial de dos vectors ∣u×v∣?
El mòdul del producte vectorial coincideix amb l'àrea del paral·lelogram. Si dividim aquest resultat per 2, obtindrem l'àrea del triangle format pels dos vectors.
Si una recta r té vector director vr i un pla π té vector normal nπ, quan serà la recta PARAL·LELA al pla?
És un raonament clàssic que crea confusió. Perquè la recta no talli el pla (sigui paral·lela), el seu vector director ha d'anar en la mateixa direcció que el pla. Per tant, vr ha de ser perpendicular al vector normal del pla (nπ).
L'equació contínua d'una recta que passa pel punt P(p1,p2,p3) i té vector director v=(v1,v2,v3) és:
Recorda: al numerador restem les coordenades del punt P, i al denominador col·loquem les components del vector director v. L'opció A és l'equació vectorial.
Com calculem la distància d'un punt P(x0,y0,z0) a un pla π:Ax+By+Cz+D=0?
La fórmula directa és d(P,π)=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣. Sempre amb valor absolut al numerador perquè és una distància.
Si volem comprovar si quatre punts A,B,C,D són coplanaris, hem de:
Es fixarà un punt com a origen (per exemple A) i es construiran els tres vectors que van cap a la resta de punts. Si el determinant d'aquests 3 vectors és 0, els vectors són coplanaris i els punts també.
Si un pla π1 i un pla π2 tenen vectors normals paral·lels, la posició relativa entre ells és:
Si els seus vectors normals apunten en la mateixa direcció, els plans no tenen inclinació l'un respecte de l'altre. Per saber si són coincidents o estrictament paral·lels s'ha de mirar el terme independent (D).