¿Cuál es el vector normal (perpendicular) al plano de ecuación general π:3x−4y+2z−5=0?
En la ecuación implícita del plano Ax+By+Cz+D=0, los coeficientes de x,y,z(A,B,C) coinciden exactamente con las componentes del vector normal al plano.
Dos vectores u y v no nulos son perpendiculares (ortogonales) si y solo si:
El producto escalar es u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos(α). Como el coseno de 90∘ es cero, el producto escalar se anula.
¿Cómo se puede encontrar un vector que sea simultáneamente perpendicular a dos vectores diferentes u y v?
Una propiedad fundamental del producto vectorial es que da como resultado un vector ortogonal al plano formado por u y v. Se utiliza mucho para encontrar el vector normal de un plano.
¿Qué condición se debe cumplir para que tres vectores u, v y w sean coplanarios (estén en el mismo plano)?
Si el determinante (producto mixto) de tres vectores es cero, significa que son linealmente dependientes y, por tanto, no forman un volumen. Se encuentran en el mismo plano.
¿Qué representa geométricamente el módulo del producto vectorial de dos vectores ∣u×v∣?
El módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo. Si dividimos este resultado entre 2, obtendremos el área del triángulo formado por los dos vectores.
Si una recta r tiene vector director vr y un plano π tiene vector normal nπ, ¿cuándo será la recta PARALELA al plano?
Es un razonamiento clásico que genera confusión. Para que la recta no corte al plano (sea paralela), su vector director debe ir en la misma dirección que el plano. Por tanto, vr debe ser perpendicular al vector normal del plano (nπ).
La ecuación continua de una recta que pasa por el punto P(p1,p2,p3) y tiene vector director v=(v1,v2,v3) es:
Recuerda: en el numerador se restan las coordenadas del punto P, y en el denominador se colocan las componentes del vector director v. La opción A es la ecuación vectorial.
¿Cómo calculamos la distancia de un punto P(x0,y0,z0) a un plano π:Ax+By+Cz+D=0?
La fórmula directa es d(P,π)=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣. Siempre con valor absoluto en el numerador porque es una distancia.
Si queremos comprobar si cuatro puntos A,B,C,D son coplanarios, debemos:
Se fijará un punto como origen (por ejemplo A) y se construirán los tres vectores que van hacia el resto de puntos. Si el determinante de esos 3 vectores es 0, los vectores son coplanarios y los puntos también.
Si un plano π1 y un plano π2 tienen vectores normales paralelos, la posición relativa entre ellos es:
Si sus vectores normales apuntan en la misma dirección, los planos no tienen inclinación uno respecto del otro. Para saber si son coincidentes o estrictamente paralelos hay que mirar el término independiente (D).