Anàlisi (Funcions, Límits, Continuïtat i Derivades)
10 preguntes sobre aquest tema, en ordre aleatori.
Pregunta 1 / 10Encerts: 0
Segons el Teorema de Bolzano, si una funció f(x) és contínua en un interval tancat [a,b] i f(a)⋅f(b)<0, què podem garantir?
És un teorema bàsic molt preguntat a la PBAU. Si la funció és contínua i passa d'un valor positiu a un de negatiu (o viceversa), obligatòriament ha de creuar l'eix X (ha de valer zero en algun punt intermedi).
Quina indeterminació es pot resoldre directament aplicant la Regla de L'Hôpital?
L'Hôpital només es pot aplicar de manera directa en quocients amb indeterminació 0/0 o ∞/∞. Qualsevol altra indeterminació (com 0⋅∞) s'ha de transformar prèviament en un quocient.
Geomètricament, què representa el valor de la derivada d'una funció en un punt x=a (f′(a))?
Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada. L'equació de la recta tangent en x=a és y−f(a)=f′(a)⋅(x−a).
Una funció f(x) presenta un MÀXIM relatiu en x=c si:
La primera derivada igual a zero ens dóna els punts crítics (tangent horitzontal). La segona derivada ens indica la curvatura: si és negativa, la corba és còncava (forma de "M" invertida), indicant un màxim.
Es diu que una funció és contínua en x=a si i només si:
Les tres condicions per la continuïtat són: els límits laterals han d'existir, han de ser iguals entre si, i aquest valor ha de coincidir amb el valor de la funció en el punt.
Si limx→∞f(x)=L (on L és un nombre real finit), què podem afirmar sobre la gràfica de f(x)?
Quan x es fa molt gran (o molt negativa), la funció s'estabilitza en un valor concret L. Aquesta és la definició d'una Asímptota Horitzontal.
La funció logaritme neperià f(x)=ln(x) té com a domini de definició:
No existeix el logaritme de nombres negatius ni el logaritme de zero. L'argument del logaritme ha de ser estrictament major que 0.
Els punts d'inflexió d'una funció assenyalen:
Els punts d'inflexió es troben buscant els valors on la segona derivada és zero (f′′(x)=0) i analitzant si hi ha un canvi de signe abans i després del punt.
La derivada de la funció composta f(x)=eg(x) aplicant la Regla de la Cadena és:
La derivada de l'exponencial d'una funció és la mateixa exponencial multiplicada per la derivada de l'exponent.
La relació entre continuïtat i derivabilitat en un punt és la següent:
La derivabilitat és una propietat "més exigent". Tota funció derivable en un punt és necessàriament contínua, però una funció pot ser contínua i no derivable (com en els "pics" o punts angulosos, tipus f(x)=∣x∣ en x=0).