Análisis (Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas)
10 preguntas sobre este tema, en orden aleatorio.
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Según el Teorema de Bolzano, si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a)⋅f(b)<0, ¿qué podemos garantizar?
Es un teorema básico muy preguntado en la PAU. Si la función es continua y pasa de un valor positivo a uno negativo (o viceversa), obligatoriamente debe cruzar el eje X (debe valer cero en algún punto intermedio).
¿Qué indeterminación se puede resolver directamente aplicando la Regla de L'Hôpital?
L'Hôpital solo se puede aplicar de forma directa en cocientes con indeterminación 0/0 o ∞/∞. Cualquier otra indeterminación (como 0⋅∞) debe transformarse previamente en un cociente.
Geométricamente, ¿qué representa el valor de la derivada de una función en un punto x=a (f′(a))?
Esta es la interpretación geométrica de la derivada. La ecuación de la recta tangente en x=a es y−f(a)=f′(a)⋅(x−a).
Una función f(x) presenta un MÁXIMO relativo en x=c si:
La primera derivada igual a cero nos da los puntos críticos (tangente horizontal). La segunda derivada nos indica la curvatura: si es negativa, la curva es cóncava (forma de "M" invertida), indicando un máximo.
Se dice que una función es continua en x=a si y solo si:
Las tres condiciones para la continuidad son: los límites laterales deben existir, deben ser iguales entre sí, y ese valor debe coincidir con el valor de la función en el punto.
Si limx→∞f(x)=L (donde L es un número real finito), ¿qué podemos afirmar sobre la gráfica de f(x)?
Cuando x se hace muy grande (o muy negativa), la función se estabiliza en un valor concreto L. Esta es la definición de una Asíntota Horizontal.
La función logaritmo neperiano f(x)=ln(x) tiene como dominio de definición:
No existe el logaritmo de números negativos ni el logaritmo de cero. El argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor que 0.
Los puntos de inflexión de una función señalan:
Los puntos de inflexión se encuentran buscando los valores donde la segunda derivada es cero (f′′(x)=0) y analizando si hay un cambio de signo antes y después del punto.
La derivada de la función compuesta f(x)=eg(x) aplicando la Regla de la Cadena es:
La derivada de la exponencial de una función es la misma exponencial multiplicada por la derivada del exponente.
La relación entre continuidad y derivabilidad en un punto es la siguiente:
La derivabilidad es una propiedad "más exigente". Toda función derivable en un punto es necesariamente continua, pero una función puede ser continua y no derivable (como en los "picos" o puntos angulosos, tipo f(x)=∣x∣ en x=0).