10 preguntes sobre aquest tema, en ordre aleatori.
Pregunta 1 / 10Encerts: 0
Una matriu quadrada A té matriu inversa A−1 si i només si:
Condició fonamental. La fórmula de la matriu inversa és A−1=∣A∣1Adj(A)T. Si el determinant fos zero, el quocient no existiria.
Si tenim l'equació matricial A⋅X=B i sabem que la matriu A és invertible, quina és l'expressió correcta per aïllar la matriu X?
El producte de matrius NO és commutatiu. Per eliminar la A de l'esquerra de la X, hem de multiplicar per A−1 per l'esquerra a tots dos costats: A−1⋅A⋅X=A−1⋅B.
Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema d'equacions lineals amb n incògnites és un Sistema Compatible Determinat (SCD) quan:
Si els rangs de la matriu de coeficients (A) i l'ampliada (A∗) coincideixen, el sistema té solució. Si a més coincideix amb el nombre d'incògnites (n), la solució és única (SCD).
Quina de les següents igualtats respecte al producte i la transposició de matrius és sempre certa?
La transposada del producte de dues matrius és el producte de les seves transposades però en ordre invers. El mateix succeeix amb la inversa: (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
Si multipliquem tots els elements d'una fila d'un determinant per un nombre real k, què li passa al valor del determinant?
Per les propietats dels determinants, si una línia (fila o columna) està multiplicada per un factor k, aquest factor pot sortir a fora multiplicant tot el determinant.
Un sistema d'equacions homogeni (tots els termes independents són zero) pot ser Incompatible?
En un sistema homogeni, Rang(A) sempre serà igual a Rang(A∗) perquè afegir una columna de zeros no augmenta el rang. Per tant, sempre és compatible (SCD o SCI).
Si la matriu A és d'ordre 3×3 i el seu determinant val 5, quant val el determinant de 2A?
Si multipliquem tota una matriu d'ordre n per k, el determinant queda multiplicat per kn. En aquest cas: ∣2A∣=23⋅∣A∣=8⋅5=40.
Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, què significa que Rang(A)=Rang(A∗)?
Si la matriu ampliada té més rang que la de coeficients, significa que els termes independents introdueixen una contradicció lineal (ex: 0x+0y+0z=5).
El valor d'un determinant que té dues files iguals o proporcionals és:
Aquesta és una de les propietats bàsiques dels determinants. Qualsevol matriu amb línies linealment dependents té determinant zero i, per tant, no té rang màxim.
Si resolem un sistema mitjançant la Regla de Cramer, el valor de la incògnita x s'obté dividint:
Aquesta és la definició exacta de la Regla de Cramer: xi=∣A∣∣Ai∣. Recorda que només es pot aplicar si el sistema és un SCD.