Una matriz cuadrada A tiene matriz inversa A−1 si y solo si:
Condición fundamental. La fórmula de la matriz inversa es A−1=∣A∣1Adj(A)T. Si el determinante fuera cero, el cociente no existiría.
Si tenemos la ecuación matricial A⋅X=B y sabemos que la matriz A es invertible, ¿cuál es la expresión correcta para aislar la matriz X?
El producto de matrices NO es conmutativo. Para eliminar la A de la izquierda de la X, debemos multiplicar por A−1 por la izquierda en ambos lados: A−1⋅A⋅X=A−1⋅B.
Según el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas es un Sistema Compatible Determinado (SCD) cuando:
Si los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la ampliada (A∗) coinciden, el sistema tiene solución. Si además coincide con el número de incógnitas (n), la solución es única (SCD).
¿Cuál de las siguientes igualdades respecto al producto y la transposición de matrices es siempre cierta?
La transpuesta del producto de dos matrices es el producto de sus transpuestas pero en orden inverso. Lo mismo sucede con la inversa: (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
Si multiplicamos todos los elementos de una fila de un determinante por un número real k, ¿qué le pasa al valor del determinante?
Por las propiedades de los determinantes, si una línea (fila o columna) está multiplicada por un factor k, ese factor puede sacarse fuera multiplicando todo el determinante.
¿Puede un sistema de ecuaciones homogéneo (todos los términos independientes son cero) ser Incompatible?
En un sistema homogéneo, Rango(A) siempre será igual a Rango(A∗) porque añadir una columna de ceros no aumenta el rango. Por tanto, siempre es compatible (SCD o SCI).
Si la matriz A es de orden 3×3 y su determinante vale 5, ¿cuánto vale el determinante de 2A?
Si multiplicamos toda una matriz de orden n por k, el determinante queda multiplicado por kn. En este caso: ∣2A∣=23⋅∣A∣=8⋅5=40.
Según el Teorema de Rouché-Frobenius, ¿qué significa que Rango(A)=Rango(A∗)?
Si la matriz ampliada tiene más rango que la de coeficientes, significa que los términos independientes introducen una contradicción lineal (ej: 0x+0y+0z=5).
El valor de un determinante que tiene dos filas iguales o proporcionales es:
Esta es una de las propiedades básicas de los determinantes. Cualquier matriz con líneas linealmente dependientes tiene determinante cero y, por tanto, no tiene rango máximo.
Si resolvemos un sistema mediante la Regla de Cramer, el valor de la incógnita x se obtiene dividiendo:
Esta es la definición exacta de la Regla de Cramer: xi=∣A∣∣Ai∣. Recuerda que solo se puede aplicar si el sistema es un SCD.