10 preguntes triades a l'atzar d'entre totes les de Matemàtiques II.
Pregunta 1 / 50Encerts: 0
Una matriu quadrada A té matriu inversa A−1 si i només si:
Condició fonamental. La fórmula de la matriu inversa és A−1=∣A∣1Adj(A)T. Si el determinant fos zero, el quocient no existiria.
Si tenim l'equació matricial A⋅X=B i sabem que la matriu A és invertible, quina és l'expressió correcta per aïllar la matriu X?
El producte de matrius NO és commutatiu. Per eliminar la A de l'esquerra de la X, hem de multiplicar per A−1 per l'esquerra a tots dos costats: A−1⋅A⋅X=A−1⋅B.
Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema d'equacions lineals amb n incògnites és un Sistema Compatible Determinat (SCD) quan:
Si els rangs de la matriu de coeficients (A) i l'ampliada (A∗) coincideixen, el sistema té solució. Si a més coincideix amb el nombre d'incògnites (n), la solució és única (SCD).
Quina de les següents igualtats respecte al producte i la transposició de matrius és sempre certa?
La transposada del producte de dues matrius és el producte de les seves transposades però en ordre invers. El mateix succeeix amb la inversa: (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
Si multipliquem tots els elements d'una fila d'un determinant per un nombre real k, què li passa al valor del determinant?
Per les propietats dels determinants, si una línia (fila o columna) està multiplicada per un factor k, aquest factor pot sortir a fora multiplicant tot el determinant.
Un sistema d'equacions homogeni (tots els termes independents són zero) pot ser Incompatible?
En un sistema homogeni, Rang(A) sempre serà igual a Rang(A∗) perquè afegir una columna de zeros no augmenta el rang. Per tant, sempre és compatible (SCD o SCI).
Si la matriu A és d'ordre 3×3 i el seu determinant val 5, quant val el determinant de 2A?
Si multipliquem tota una matriu d'ordre n per k, el determinant queda multiplicat per kn. En aquest cas: ∣2A∣=23⋅∣A∣=8⋅5=40.
Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, què significa que Rang(A)=Rang(A∗)?
Si la matriu ampliada té més rang que la de coeficients, significa que els termes independents introdueixen una contradicció lineal (ex: 0x+0y+0z=5).
El valor d'un determinant que té dues files iguals o proporcionals és:
Aquesta és una de les propietats bàsiques dels determinants. Qualsevol matriu amb línies linealment dependents té determinant zero i, per tant, no té rang màxim.
Si resolem un sistema mitjançant la Regla de Cramer, el valor de la incògnita x s'obté dividint:
Aquesta és la definició exacta de la Regla de Cramer: xi=∣A∣∣Ai∣. Recorda que només es pot aplicar si el sistema és un SCD.
Quin és el vector normal (perpendicular) al pla d'equació general π:3x−4y+2z−5=0?
En l'equació implícita del pla Ax+By+Cz+D=0, els coeficients de x,y,z(A,B,C) coincideixen exactament amb les components del vector normal al pla.
Dos vectors u i v no nuls són perpendiculars (ortogonals) si i només si:
El producte escalar és u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos(α). Com que el cosinus de 90∘ és zero, el producte escalar s'anul·la.
Com es pot trobar un vector que sigui simultàniament perpendicular a dos vectors diferents u i v?
Una propietat fonamental del producte vectorial és que dona com a resultat un vector que és ortogonal al pla format per u i v. S'utilitza molt per trobar el vector normal d'un pla.
Quina condició s'ha de complir perquè tres vectors u, v i w siguin coplanaris (estiguin en el mateix pla)?
Si el determinant (producte mixt) de tres vectors és zero, significa que són linealment dependents i, per tant, no formen un volum. Es troben en el mateix pla.
Què representa geomètricament el mòdul del producte vectorial de dos vectors ∣u×v∣?
El mòdul del producte vectorial coincideix amb l'àrea del paral·lelogram. Si dividim aquest resultat per 2, obtindrem l'àrea del triangle format pels dos vectors.
Si una recta r té vector director vr i un pla π té vector normal nπ, quan serà la recta PARAL·LELA al pla?
És un raonament clàssic que crea confusió. Perquè la recta no talli el pla (sigui paral·lela), el seu vector director ha d'anar en la mateixa direcció que el pla. Per tant, vr ha de ser perpendicular al vector normal del pla (nπ).
L'equació contínua d'una recta que passa pel punt P(p1,p2,p3) i té vector director v=(v1,v2,v3) és:
Recorda: al numerador restem les coordenades del punt P, i al denominador col·loquem les components del vector director v. L'opció A és l'equació vectorial.
Com calculem la distància d'un punt P(x0,y0,z0) a un pla π:Ax+By+Cz+D=0?
La fórmula directa és d(P,π)=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣. Sempre amb valor absolut al numerador perquè és una distància.
Si volem comprovar si quatre punts A,B,C,D són coplanaris, hem de:
Es fixarà un punt com a origen (per exemple A) i es construiran els tres vectors que van cap a la resta de punts. Si el determinant d'aquests 3 vectors és 0, els vectors són coplanaris i els punts també.
Si un pla π1 i un pla π2 tenen vectors normals paral·lels, la posició relativa entre ells és:
Si els seus vectors normals apunten en la mateixa direcció, els plans no tenen inclinació l'un respecte de l'altre. Per saber si són coincidents o estrictament paral·lels s'ha de mirar el terme independent (D).
Segons el Teorema de Bolzano, si una funció f(x) és contínua en un interval tancat [a,b] i f(a)⋅f(b)<0, què podem garantir?
És un teorema bàsic molt preguntat a la PBAU. Si la funció és contínua i passa d'un valor positiu a un de negatiu (o viceversa), obligatòriament ha de creuar l'eix X (ha de valer zero en algun punt intermedi).
Quina indeterminació es pot resoldre directament aplicant la Regla de L'Hôpital?
L'Hôpital només es pot aplicar de manera directa en quocients amb indeterminació 0/0 o ∞/∞. Qualsevol altra indeterminació (com 0⋅∞) s'ha de transformar prèviament en un quocient.
Geomètricament, què representa el valor de la derivada d'una funció en un punt x=a (f′(a))?
Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada. L'equació de la recta tangent en x=a és y−f(a)=f′(a)⋅(x−a).
Una funció f(x) presenta un MÀXIM relatiu en x=c si:
La primera derivada igual a zero ens dóna els punts crítics (tangent horitzontal). La segona derivada ens indica la curvatura: si és negativa, la corba és còncava (forma de "M" invertida), indicant un màxim.
Es diu que una funció és contínua en x=a si i només si:
Les tres condicions per la continuïtat són: els límits laterals han d'existir, han de ser iguals entre si, i aquest valor ha de coincidir amb el valor de la funció en el punt.
Si limx→∞f(x)=L (on L és un nombre real finit), què podem afirmar sobre la gràfica de f(x)?
Quan x es fa molt gran (o molt negativa), la funció s'estabilitza en un valor concret L. Aquesta és la definició d'una Asímptota Horitzontal.
La funció logaritme neperià f(x)=ln(x) té com a domini de definició:
No existeix el logaritme de nombres negatius ni el logaritme de zero. L'argument del logaritme ha de ser estrictament major que 0.
Els punts d'inflexió d'una funció assenyalen:
Els punts d'inflexió es troben buscant els valors on la segona derivada és zero (f′′(x)=0) i analitzant si hi ha un canvi de signe abans i després del punt.
La derivada de la funció composta f(x)=eg(x) aplicant la Regla de la Cadena és:
La derivada de l'exponencial d'una funció és la mateixa exponencial multiplicada per la derivada de l'exponent.
La relació entre continuïtat i derivabilitat en un punt és la següent:
La derivabilitat és una propietat "més exigent". Tota funció derivable en un punt és necessàriament contínua, però una funció pot ser contínua i no derivable (com en els "pics" o punts angulosos, tipus f(x)=∣x∣ en x=0).
La Regla de Barrow per calcular la integral definida ∫abf(x)dx estableix que el seu valor és:
La Regla de Barrow ens diu que avaluant la funció primitiva a l'extrem superior i restant-li el valor a l'extrem inferior obtenim la integral definida.
Si es vol calcular l'àrea compresa entre l'eix d'abscisses (y=0) i la funció f(x) a l'interval [a,b], quin és el primer pas fonamental a l'examen de la PBAU?
Si la funció talla l'eix d'abscisses dins de l'interval [a,b], canviarà de signe i algunes àrees seran "negatives". S'ha de dividir la integral en trossos per agafar el valor absolut de cada part i sumar-les correctament.
La fórmula d'integració per parts s'escriu com: ∫udv=
Coneguda memotècnicament com "Un Día Vi Una Vaca Menos Integrando Vestida De Uniforme".
La primitiva principal de la funció f(x)=x1 és:
És l'excepció a la regla de la potència per integrar xn. Quan n=−1, la integral genera un logaritme neperià. El valor absolut garanteix que estigui definit per a valors negatius.
Segons el Teorema de Rolle, si f(x) és contínua en [a,b], derivable en (a,b) i a més es compleix que f(a)=f(b), aleshores:
Com que la funció parteix d'una alçada i torna exactament a la mateixa alçada (f(a)=f(b)), per força ha d'haver "girat" (si no és constant), de manera que hi ha un punt on la recta tangent és horitzontal.
Si f(x) és una funció IMPARELLA (simetria respecte l'origen, f(−x)=−f(x)), quant val la integral definida ∫−aaf(x)dx?
En una funció imparella (com sin(x) o x3), l'àrea generada al costat negatiu de l'eix es cancel·la algebraicament amb l'àrea generada al costat positiu, donant un resultat net de 0.
L'àrea de la regió del pla limitada per dues funcions f(x) i g(x) que es tallen en els punts x=a i x=b es calcula com:
Sempre s'ha d'integrar la funció "sostre" menys la funció "terra". Si no sabem quina va per sobre, posar tota la diferència en valor absolut ens assegura un resultat d'àrea positiu.
Quina tècnica d'integració recomana l'acrònim ALPES / ILATE per triar la funció 'u'?
Serveix per determinar la prioritat de substitució de u: (I)nverses trigonomètriques, (L)ogarítmiques, (A)lgebraiques, (T/P)rigonomètriques, (E)xponencials.
En un problema d'optimització (per exemple minimitzar material d'un cilindre), un cop obtinguda la funció d'una variable, com garantim que el punt trobat és un mínim?
Trobar on f′(x)=0 ens dona els punts crítics. Si al substituir-los a la segona derivada el resultat és positiu, es tracta d'un mínim (curvatura còncava en forma de "U").
El Teorema Fonamental del Càlcul relaciona dues operacions matemàtiques que, essent de naturalesa diferent, resulten ser inverses. Quines són?
Ens diu que si derivem la funció integral F(x)=∫axf(t)dt, obtindrem la mateixa funció original f(x). Això permet fer servir la regla de Barrow de manera pràctica.
Segons l'axiomàtica bàsica, si dos successos A i B són incompatibles (mútuament excloents), es compleix que:
Incompatibles vol dir que no poden donar-se a la vegada. La seva intersecció és el conjunt buit i, per tant, la probabilitat que passin simultàniament és zero.
Dos successos A i B s'anomenen INDEPENDENTS si es compleix la igualtat:
Aquesta és la regla fonamental per demostrar la independència en un problema de la UIB. Si conèixer B no altera la probabilitat d'A, llavors P(A∩B) és simplement el producte de les dues probabilitats.
La fórmula de la probabilitat condicionada de l'esdeveniment A sabent que ha ocorregut B és P(A∣B)=
Limitem el nostre espai mostral al succés que JA SABEM que ha passat (B). Per això P(B) va al denominador. Al numerador hi posem la part comuna on succeeixen tots dos (A∩B).
Què prediuen les Lleis de De Morgan sobre la probabilitat del contrari de la unió: P(A∪B)?
El complementari de la unió és la intersecció dels complementaris: "No succeeix ni A ni B" equival a dir "No succeeix A I, al mateix temps, No succeeix B".
Una urna té boles blanques i negres. Es treuen dues boles de l'urna sense reposició. La probabilitat de la segona extracció depèn del resultat de la primera. Com es pot modelar eficaçment?
Quan hi ha experiments compostos (pas rere pas) on l'espai mostral va canviant per manca de reposició, el diagrama d'arbre reflecteix clarament com canvien les probabilitats (les branques són els condicionants).
L'expressió P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) rep el nom de:
És fonamental restar la intersecció perquè, si sumem P(A) i P(B), estem comptant els casos on ocorren tots dos successos de manera duplicada.
Quin teorema utilitzem freqüentment en els problemes de diagrames d'arbre per recórrer les rames "cap enrere" i descobrir l'origen d'un resultat que ja s'ha produït (ex: sabem que una peça és defectuosa, quina és la probabilitat que provingui de la Màquina A)?
El Teorema de Bayes calcula la probabilitat "a posteriori". Permet intercanviar el condicionant (P(Ai∣B) quan coneixem P(B∣Ai) i P(Ai)). El denominador sempre és la probabilitat total de B.
Quant suma sempre la probabilitat d'un succés i la del seu succés contrari: P(A)+P(A)?
L'espai mostral sencer (tot el que pot ocórrer) té probabilitat 1 (o 100%). Un esdeveniment o bé succeeix, o bé no succeeix; per tant formen un sistema complet d'esdeveniments.
Tenim l'esdeveniment "Aprovar Matemàtiques" i l'esdeveniment "Ser d'una altra Galàxia". Si aquests dos esdeveniments són totalment independents, quant val P(Aprovar∣Galaˋxia)?
Si dos esdeveniments són independents, saber que ha ocorregut un no aporta absolutament cap informació nova sobre l'altre. Per tant, la probabilitat condicionada es redueix a la probabilitat original: P(A∣B)=P(A).
Per calcular la probabilitat d'una diferència de successos (que passi A però NO passi B), quina expressió s'utilitza?
A la probabilitat total que passi A, només li has de treure la "porció" on A i B es superposen (la intersecció), així et quedarà només la part on A succeeix exclusivament sense interferència de B.