10 preguntas elegidas al azar entre todas las de Matemáticas II.
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Una matriz cuadrada A tiene matriz inversa A−1 si y solo si:
Condición fundamental. La fórmula de la matriz inversa es A−1=∣A∣1Adj(A)T. Si el determinante fuera cero, el cociente no existiría.
Si tenemos la ecuación matricial A⋅X=B y sabemos que la matriz A es invertible, ¿cuál es la expresión correcta para aislar la matriz X?
El producto de matrices NO es conmutativo. Para eliminar la A de la izquierda de la X, debemos multiplicar por A−1 por la izquierda en ambos lados: A−1⋅A⋅X=A−1⋅B.
Según el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas es un Sistema Compatible Determinado (SCD) cuando:
Si los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la ampliada (A∗) coinciden, el sistema tiene solución. Si además coincide con el número de incógnitas (n), la solución es única (SCD).
¿Cuál de las siguientes igualdades respecto al producto y la transposición de matrices es siempre cierta?
La transpuesta del producto de dos matrices es el producto de sus transpuestas pero en orden inverso. Lo mismo sucede con la inversa: (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
Si multiplicamos todos los elementos de una fila de un determinante por un número real k, ¿qué le pasa al valor del determinante?
Por las propiedades de los determinantes, si una línea (fila o columna) está multiplicada por un factor k, ese factor puede sacarse fuera multiplicando todo el determinante.
¿Puede un sistema de ecuaciones homogéneo (todos los términos independientes son cero) ser Incompatible?
En un sistema homogéneo, Rango(A) siempre será igual a Rango(A∗) porque añadir una columna de ceros no aumenta el rango. Por tanto, siempre es compatible (SCD o SCI).
Si la matriz A es de orden 3×3 y su determinante vale 5, ¿cuánto vale el determinante de 2A?
Si multiplicamos toda una matriz de orden n por k, el determinante queda multiplicado por kn. En este caso: ∣2A∣=23⋅∣A∣=8⋅5=40.
Según el Teorema de Rouché-Frobenius, ¿qué significa que Rango(A)=Rango(A∗)?
Si la matriz ampliada tiene más rango que la de coeficientes, significa que los términos independientes introducen una contradicción lineal (ej: 0x+0y+0z=5).
El valor de un determinante que tiene dos filas iguales o proporcionales es:
Esta es una de las propiedades básicas de los determinantes. Cualquier matriz con líneas linealmente dependientes tiene determinante cero y, por tanto, no tiene rango máximo.
Si resolvemos un sistema mediante la Regla de Cramer, el valor de la incógnita x se obtiene dividiendo:
Esta es la definición exacta de la Regla de Cramer: xi=∣A∣∣Ai∣. Recuerda que solo se puede aplicar si el sistema es un SCD.
¿Cuál es el vector normal (perpendicular) al plano de ecuación general π:3x−4y+2z−5=0?
En la ecuación implícita del plano Ax+By+Cz+D=0, los coeficientes de x,y,z(A,B,C) coinciden exactamente con las componentes del vector normal al plano.
Dos vectores u y v no nulos son perpendiculares (ortogonales) si y solo si:
El producto escalar es u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos(α). Como el coseno de 90∘ es cero, el producto escalar se anula.
¿Cómo se puede encontrar un vector que sea simultáneamente perpendicular a dos vectores diferentes u y v?
Una propiedad fundamental del producto vectorial es que da como resultado un vector ortogonal al plano formado por u y v. Se utiliza mucho para encontrar el vector normal de un plano.
¿Qué condición se debe cumplir para que tres vectores u, v y w sean coplanarios (estén en el mismo plano)?
Si el determinante (producto mixto) de tres vectores es cero, significa que son linealmente dependientes y, por tanto, no forman un volumen. Se encuentran en el mismo plano.
¿Qué representa geométricamente el módulo del producto vectorial de dos vectores ∣u×v∣?
El módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo. Si dividimos este resultado entre 2, obtendremos el área del triángulo formado por los dos vectores.
Si una recta r tiene vector director vr y un plano π tiene vector normal nπ, ¿cuándo será la recta PARALELA al plano?
Es un razonamiento clásico que genera confusión. Para que la recta no corte al plano (sea paralela), su vector director debe ir en la misma dirección que el plano. Por tanto, vr debe ser perpendicular al vector normal del plano (nπ).
La ecuación continua de una recta que pasa por el punto P(p1,p2,p3) y tiene vector director v=(v1,v2,v3) es:
Recuerda: en el numerador se restan las coordenadas del punto P, y en el denominador se colocan las componentes del vector director v. La opción A es la ecuación vectorial.
¿Cómo calculamos la distancia de un punto P(x0,y0,z0) a un plano π:Ax+By+Cz+D=0?
La fórmula directa es d(P,π)=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣. Siempre con valor absoluto en el numerador porque es una distancia.
Si queremos comprobar si cuatro puntos A,B,C,D son coplanarios, debemos:
Se fijará un punto como origen (por ejemplo A) y se construirán los tres vectores que van hacia el resto de puntos. Si el determinante de esos 3 vectores es 0, los vectores son coplanarios y los puntos también.
Si un plano π1 y un plano π2 tienen vectores normales paralelos, la posición relativa entre ellos es:
Si sus vectores normales apuntan en la misma dirección, los planos no tienen inclinación uno respecto del otro. Para saber si son coincidentes o estrictamente paralelos hay que mirar el término independiente (D).
Según el Teorema de Bolzano, si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a)⋅f(b)<0, ¿qué podemos garantizar?
Es un teorema básico muy preguntado en la PAU. Si la función es continua y pasa de un valor positivo a uno negativo (o viceversa), obligatoriamente debe cruzar el eje X (debe valer cero en algún punto intermedio).
¿Qué indeterminación se puede resolver directamente aplicando la Regla de L'Hôpital?
L'Hôpital solo se puede aplicar de forma directa en cocientes con indeterminación 0/0 o ∞/∞. Cualquier otra indeterminación (como 0⋅∞) debe transformarse previamente en un cociente.
Geométricamente, ¿qué representa el valor de la derivada de una función en un punto x=a (f′(a))?
Esta es la interpretación geométrica de la derivada. La ecuación de la recta tangente en x=a es y−f(a)=f′(a)⋅(x−a).
Una función f(x) presenta un MÁXIMO relativo en x=c si:
La primera derivada igual a cero nos da los puntos críticos (tangente horizontal). La segunda derivada nos indica la curvatura: si es negativa, la curva es cóncava (forma de "M" invertida), indicando un máximo.
Se dice que una función es continua en x=a si y solo si:
Las tres condiciones para la continuidad son: los límites laterales deben existir, deben ser iguales entre sí, y ese valor debe coincidir con el valor de la función en el punto.
Si limx→∞f(x)=L (donde L es un número real finito), ¿qué podemos afirmar sobre la gráfica de f(x)?
Cuando x se hace muy grande (o muy negativa), la función se estabiliza en un valor concreto L. Esta es la definición de una Asíntota Horizontal.
La función logaritmo neperiano f(x)=ln(x) tiene como dominio de definición:
No existe el logaritmo de números negativos ni el logaritmo de cero. El argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor que 0.
Los puntos de inflexión de una función señalan:
Los puntos de inflexión se encuentran buscando los valores donde la segunda derivada es cero (f′′(x)=0) y analizando si hay un cambio de signo antes y después del punto.
La derivada de la función compuesta f(x)=eg(x) aplicando la Regla de la Cadena es:
La derivada de la exponencial de una función es la misma exponencial multiplicada por la derivada del exponente.
La relación entre continuidad y derivabilidad en un punto es la siguiente:
La derivabilidad es una propiedad "más exigente". Toda función derivable en un punto es necesariamente continua, pero una función puede ser continua y no derivable (como en los "picos" o puntos angulosos, tipo f(x)=∣x∣ en x=0).
La Regla de Barrow para calcular la integral definida ∫abf(x)dx establece que su valor es:
La Regla de Barrow nos dice que evaluando la función primitiva en el extremo superior y restándole el valor en el extremo inferior obtenemos la integral definida.
Si se quiere calcular el área comprendida entre el eje de abscisas (y=0) y la función f(x) en el intervalo [a,b], ¿cuál es el primer paso fundamental en el examen de la PAU?
Si la función corta el eje de abscisas dentro del intervalo [a,b], cambiará de signo y algunas áreas serán "negativas". Hay que dividir la integral en tramos para tomar el valor absoluto de cada parte y sumarlas correctamente.
La fórmula de integración por partes se escribe como: ∫udv=
Conocida mnemotécnicamente como "Un Día Vi Una Vaca Menos Integrando Vestida De Uniforme".
La primitiva principal de la función f(x)=x1 es:
Es la excepción a la regla de la potencia para integrar xn. Cuando n=−1, la integral genera un logaritmo neperiano. El valor absoluto garantiza que esté definido para valores negativos.
Según el Teorema de Rolle, si f(x) es continua en [a,b], derivable en (a,b) y además se cumple que f(a)=f(b), entonces:
Como la función parte de una altura y vuelve exactamente a la misma altura (f(a)=f(b)), forzosamente ha debido "girar" (si no es constante), de manera que hay un punto donde la recta tangente es horizontal.
Si f(x) es una función IMPAR (simetría respecto al origen, f(−x)=−f(x)), ¿cuánto vale la integral definida ∫−aaf(x)dx?
En una función impar (como sin(x) o x3), el área generada en el lado negativo del eje se cancela algebraicamente con el área generada en el lado positivo, dando un resultado neto de 0.
El área de la región del plano limitada por dos funciones f(x) y g(x) que se cortan en los puntos x=a y x=b se calcula como:
Siempre hay que integrar la función "techo" menos la función "suelo". Si no sabemos cuál va por encima, poner toda la diferencia en valor absoluto nos asegura un resultado de área positivo.
¿Qué técnica de integración recomienda el acrónimo ALPES / ILATE para elegir la función 'u'?
Sirve para determinar la prioridad de sustitución de u: (I)nversas trigonométricas, (L)ogarítmicas, (A)lgebraicas, (T/P)rigonométricas, (E)xponenciales.
En un problema de optimización (por ejemplo minimizar material de un cilindro), una vez obtenida la función de una variable, ¿cómo garantizamos que el punto encontrado es un mínimo?
Encontrar dónde f′(x)=0 nos da los puntos críticos. Si al sustituirlos en la segunda derivada el resultado es positivo, se trata de un mínimo (curvatura cóncava en forma de "U").
El Teorema Fundamental del Cálculo relaciona dos operaciones matemáticas que, siendo de naturaleza diferente, resultan ser inversas. ¿Cuáles son?
Nos dice que si derivamos la función integral F(x)=∫axf(t)dt, obtendremos la misma función original f(x). Esto permite usar la regla de Barrow de manera práctica.
Según la axiomática básica, si dos sucesos A y B son incompatibles (mutuamente excluyentes), se cumple que:
Incompatibles significa que no pueden darse a la vez. Su intersección es el conjunto vacío y, por tanto, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es cero.
Dos sucesos A y B se llaman INDEPENDIENTES si se cumple la igualdad:
Esta es la regla fundamental para demostrar la independencia en un problema de la UIB. Si conocer B no altera la probabilidad de A, entonces P(A∩B) es simplemente el producto de las dos probabilidades.
La fórmula de la probabilidad condicionada del suceso A sabiendo que ha ocurrido B es P(A∣B)=
Limitamos nuestro espacio muestral al suceso que YA SABEMOS que ha pasado (B). Por eso P(B) va en el denominador. En el numerador ponemos la parte común donde ocurren ambos (A∩B).
¿Qué predicen las Leyes de De Morgan sobre la probabilidad del contrario de la unión: P(A∪B)?
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios: "No ocurre ni A ni B" equivale a decir "No ocurre A Y, al mismo tiempo, no ocurre B".
Una urna tiene bolas blancas y negras. Se sacan dos bolas de la urna sin reposición. La probabilidad de la segunda extracción depende del resultado de la primera. ¿Cómo se puede modelar eficazmente?
Cuando hay experimentos compuestos (paso a paso) donde el espacio muestral va cambiando por falta de reposición, el diagrama de árbol refleja claramente cómo cambian las probabilidades (las ramas son los condicionantes).
La expresión P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) recibe el nombre de:
Es fundamental restar la intersección porque, si sumamos P(A) y P(B), estamos contando los casos donde ocurren ambos sucesos de forma duplicada.
¿Qué teorema utilizamos frecuentemente en los problemas de diagramas de árbol para recorrer las ramas "hacia atrás" y descubrir el origen de un resultado que ya se ha producido (ej: sabemos que una pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Máquina A)?
El Teorema de Bayes calcula la probabilidad "a posteriori". Permite intercambiar el condicionante (P(Ai∣B) cuando conocemos P(B∣Ai) y P(Ai)). El denominador siempre es la probabilidad total de B.
¿Cuánto suma siempre la probabilidad de un suceso y la de su suceso contrario: P(A)+P(A)?
El espacio muestral entero (todo lo que puede ocurrir) tiene probabilidad 1 (o 100%). Un suceso o bien ocurre, o bien no ocurre; por tanto forman un sistema completo de sucesos.
Tenemos el suceso "Aprobar Matemáticas" y el suceso "Ser de otra Galaxia". Si estos dos sucesos son totalmente independientes, ¿cuánto vale P(Aprobar∣Galaxia)?
Si dos sucesos son independientes, saber que ha ocurrido uno no aporta absolutamente ninguna información nueva sobre el otro. Por tanto, la probabilidad condicionada se reduce a la probabilidad original: P(A∣B)=P(A).
Para calcular la probabilidad de una diferencia de sucesos (que ocurra A pero NO ocurra B), ¿qué expresión se utiliza?
A la probabilidad total de que ocurra A, solo hay que quitarle la "porción" donde A y B se solapan (la intersección), así te quedará solo la parte donde A ocurre exclusivamente sin interferencia de B.