Si A i B són dos successos INCOMPATIBLES (que no poden ocórrer alhora), quant val la probabilitat de la seva unió P(A∪B)?
Com que són incompatibles, la seva intersecció és buida (P(A∩B)=0). Per tant, la fórmula general de la unió es simplifica a la suma directa de les probabilitats.
La probabilitat que un client compri un producte A és 0.4. La probabilitat que compri el producte B és 0.3. Si sabem que la compra de B és INDEPENDENT de la compra d'A, quina és la probabilitat que compri tots dos productes?
Si dos successos són independents, la probabilitat de la seva intersecció és el producte de les seves probabilitats: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0.4⋅0.3=0.12.
En un diagrama d'arbre, la suma de les probabilitats de les branques que surten d'un mateix nus ha de ser sempre:
Les branques que surten d'un nus representen totes les opcions possibles (un sistema complet de successos). Per tant, la suma de les seves probabilitats ha de ser sempre el 100% (és a dir, 1).
El Teorema de Bayes s'utilitza principalment per a calcular:
Bayes s'utilitza quan ja coneixem el resultat (ex: "sabem que la peça és defectuosa") i volem "tornar enrere" a l'arbre per saber quina màquina l'ha produïda: P(A∣B)=P(A∩B)/P(B).
D'una baralla de cartes s'extreuen dues cartes CONSECUTIVAMENT I SENSE REPOSICIÓ. Què podem afirmar dels successos?
Al no tornar la primera carta a la baralla, l'espai mostral canvia (hi ha una carta menys). Per tant, el resultat de la primera extracció condiciona directament la probabilitat de la segona. Són dependents.
Les Lleis de De Morgan afirmen que la probabilitat del contrari de la unió P(A∪B) és igual a:
El complementari de la unió és la intersecció dels complementaris. "No passa ni A ni B" és el mateix que "No passa A, i alhora, no passa B".
Si P(A)=0.6, quant val la probabilitat del seu succés contrari o complementari P(A)?
La probabilitat d'un succés i la del seu contrari sumen sempre 1. Llavors, P(A)=1−P(A)=1−0.6=0.4.
A la fórmula de la probabilitat condicionada P(A∣B)=P(B)P(A∩B), el denominador P(B) representa:
Quan condicionem a B, estem descartant tots els casos on B no passa. El nostre "nou total" d'opcions (el denominador) passa a ser exclusivament la probabilitat de B.
Per calcular la probabilitat que passi el succés A PERÒ NO passi el succés B (A−B), utilitzem la fórmula:
A la probabilitat total del cercle A li hem de restar el "tros" que comparteix amb B (la intersecció), per quedar-nos només amb la part exclusiva d'A.
Si en un problema ens diuen: "el 20% dels treballadors són directius, i d'aquests, el 40% són dones", quina operació farem per trobar la probabilitat de ser "Directiu I Dona"?
Aquest és el típic camí d'un diagrama d'arbre. Estem calculant la intersecció de successos dependents: P(Directiu∩Dona)=P(Directiu)⋅P(Dona∣Directiu).
En una Distribució Normal Estàndard N(0,1), què representa la taula de probabilitats que ens donen a l'examen?
La taula de la normal acumula la probabilitat des de −∞ fins a un valor z positiu. Dona sempre l'àrea que queda a l'esquerra de la corba.
Tenim una variable aleatòria X que segueix una distribució Normal N(μ=50,σ=10). Com la "tipifiquem" per poder usar la taula de la Normal Z(0,1)?
La fórmula de tipificació és Z=σX−μ. Es resta la mitjana poblacional i es divideix per la desviació típica.
Si la mitjana de les notes d'una mostra d'alumnes és 6,5, on estarà situat el centre de l'Interval de Confiança per a la mitjana de tota la població?
L'interval de confiança es construeix sempre de forma simètrica sumant i restant l'Error Màxim al voltant de la mitjana de la mostra (xˉ). El centre sempre és xˉ.
Si AUGMENTEM la mida de la mostra (n) d'un estudi estadístic mantenint el mateix nivell de confiança, què li passa a l'amplitud de l'Interval de Confiança?
L'Error Màxim és E=zα/2⋅nσ. Com que n està al denominador, si n creix, l'error disminueix, fent que l'interval sigui més estret i tinguem més precisió.
Volem un nivell de confiança del 95% (1−α=0.95). Quin valor de zα/2 buscarem a la taula per posar a la fórmula de l'error?
Si la confiança és 0.95, sobra un α=0.05. Com que la corba té dues cues, dividim α/2=0.025. A la taula hem de buscar l'àrea 0.95+0.025=0.975, que correspon a z=1.96.
Si volem trobar la probabilitat que una variable Normal Z sigui MAJOR que 1.5 (P(Z>1.5)), com ho calculem amb la taula?
Com que l'àrea total sota la campana és 1, i la taula només ens dóna probabilitats "menors que" (cap a l'esquerra), per trobar l'àrea de la dreta hem de restar l'àrea esquerra a 1.
Per a qualsevol variable aleatòria contínua (com la Distribució Normal), quina és la probabilitat que prengui un valor EXACTE (ex: P(X=25))?
En una distribució contínua, hi ha infinits valors possibles. L'àrea sota la corba per a un sol punt (sense amplada) és nul·la. Per això P(X=a)=0 i sempre calculem probabilitats en intervals (P(X≤a)).
La fórmula per calcular la mida MÍNIMA de la mostra (n) necessària per no superar un error E determinat és:
Aquesta fórmula surt d'aïllar la n de la fórmula de l'Error Màxim E=zα/2⋅nσ. Cal recordar que el resultat s'ha d'arrodonir SEMPRE cap a l'enter superior.
En un interval de confiança, la diferència entre el límit superior de l'interval i el límit inferior equival a:
Com que l'interval és (xˉ−E,xˉ+E), l'amplada total de l'interval (límit superior menys límit inferior) mesura exactament dues vegades l'error (2E).
Com es resol la probabilitat d'un nombre negatiu a la taula Normal P(Z≤−a) on a>0?
Per la simetria geomètrica de la Campana de Gauss respecte a l'eix Y, l'àrea a l'esquerra d'un valor negatiu (la cua esquerra) és exactament igual a l'àrea a la dreta d'aquest mateix valor en positiu (la cua dreta).
Per poder multiplicar dues matrius, A⋅B, quina condició geomètrica de dimensions s'ha de complir estrictament?
Aquesta és la regla fonamental del producte de matrius. Si A és d'ordre (m×n) i B és d'ordre (p×q), el producte només és possible si n=p. La matriu resultant tindrà dimensió (m×q).
Tenim un sistema d'equacions lineals que representa les vendes de tres tipus de productes a una empresa. Si resolem el sistema i trobem que és un "Sistema Incompatible", què significa econòmicament?
Un sistema incompatible (SI) significa matemàticament que les equacions no es poden satisfer simultàniament. En un problema real, vol dir que les dades proporcionades (les vendes i els ingressos) són incongruents.
Volem resoldre l'equació matricial A⋅X+B=C, sabent que A és invertible. Quina és la passa correcta per aïllar X?
Primer passem B restant: A⋅X=C−B. Per treure la A (que multiplica per l'esquerra), hem de multiplicar per A−1 OBLIGATÒRIAMENT per l'esquerra a l'altre costat de la igualtat.
Segons el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema té infinites solucions (Sistema Compatible Indeterminat) quan:
Com que el rang és menor que el nombre d'incògnites, vol dir que ens sobren variables que actuen com a "paràmetres lliures", generant infinites combinacions que solucionen el sistema.
Una matriu quadrada NO té matriu inversa (és singular) quan:
A la fórmula de la matriu inversa (A−1=∣A∣1Adj(A)T), dividim pel determinant. Si el determinant és zero, l'operació matemàtica no existeix.
La matriu Identitat I compleix una propietat fonamental en la multiplicació de matrius. Quina?
La matriu identitat actua exactament com el número "1" en l'àlgebra de nombres reals. És l'element neutre de la multiplicació.
Si transpusem una matriu (canviem files per columnes), què passa amb el seu determinant?
Aquesta és una propietat fonamental. Un determinant es pot desenvolupar per files o per columnes obtenint exactament el mateix valor. Per tant, la matriu i la seva transposada tenen el mateix determinant.
Tenim una empresa que fabrica dos tipus de mobles amb tres tipus de fusta. Si volem construir una matriu per resoldre els preus dels materials, quin mètode és el més directe si el sistema resulta ser quadrat i compatible determinat?
La Regla de Cramer (x=∣Ax∣/∣A∣) és el mètode més eficaç i pautat per resoldre sistemes quadrats amb una única solució (SCD) de manera directa mitjançant determinants.
A la matriu ampliada (A∗) d'un sistema d'equacions d'economia, què col·loquem a la darrera columna?
La matriu ampliada s'escriu afegint una columna extra a la matriu de coeficients. Aquesta columna conté les constants que estan a la dreta del signe "=" en les equacions lineals.
Si s'intercanvien dues files en una matriu 3×3, el seu determinant:
Per les propietats dels determinants, cada vegada que s'intercanvien dues línies paral·leles (siguin files o columnes), el valor del determinant es multiplica per -1.
En economia, si tenim una funció que modelitza els Ingressos I(x) i una altra que modelitza els Costos C(x) per produir x unitats, com obtenim la funció de Beneficis B(x)?
El benefici econòmic és la diferència entre tots els doblers que entren a la caixa (Ingressos) menys tots els doblers que costa fabricar el producte (Costos).
Volem MAXIMITZAR els beneficis d'una empresa. Des del punt de vista matemàtic, quin és el primer pas que hem de fer amb la funció de beneficis B(x)?
L'optimització de funcions passa sempre per trobar els punts crítics (on el pendent de la recta tangent és zero). Això s'aconsegueix resolent B′(x)=0.
Un cop hem trobat el nombre d'unitats x que fa que B′(x)=0, com assegurem matemàticament que aquest punt és un MÀXIM de beneficis i no un mínim?
Si la segona derivada és negativa al punt crític, la funció té forma convexa o de "M" (corbada cap avall), cosa que confirma que ens trobem al cim de la muntanya (un màxim).
Una funció definida a trossos representa el cost de la llum segons l'hora. Per comprovar si la funció no té salts bruscs de preu (és CONTÍNUA) en el moment de canvi de tram (ex: x=12), què s'ha de complir?
Aquesta és la condició ineludible de continuïtat en un punt: limx→12−f(x)=limx→12+f(x)=f(12). Els dos trossos s'han de "connectar" exactament a la mateixa altura.
El concepte econòmic de "Cost Marginal" es tradueix matemàticament com:
En economia, qualsevol magnitud "marginal" equival a la derivada de la magnitud total respecte de la quantitat produïda x. Indica l'increment de cost per produir una unitat addicional.
Volem predir cap on tendeix el deute d'un país a llarg termini si apliquem el model matemàtic f(t)=t+23t+5 on t són els anys. Què estem cercant?
El comportament a "llarg termini" vol dir quan el temps s'escapa cap a l'infinit. Calcular el límit a l'infinit d'aquesta funció racional ens donarà 3, la seva asímptota horitzontal.
El domini d'una funció polinòmica de grau 3 (tipus f(x)=2x3−5x2+x−1) és:
Les funcions polinòmiques, molt usades en l'ajust de models econòmics simples, no tenen denominadors ni arrels, per la qual cosa mai presenten discontinuïtats i el seu domini sempre és R.
La derivada de la funció constant f(x)=5000 (que representa un cost fix de lloguer que no depèn del volum de producció) val:
La derivada mesura la taxa de canvi. Com que el cost fix no canvia mai, independentment de les unitats que fabriquem, la seva taxa de canvi és 0.
Què ens indica un punt d'inflexió en la gràfica d'evolució de l'atur d'un país al llarg dels mesos?
El punt d'inflexió (on f′′(x)=0) marca el canvi de concavitat a convexitat (o a l'inrevés). En una crisi, significa que les coses segueixen empitjorant (creix), però el ritme d'empitjorament s'està frenant (passa de créixer ràpid a créixer lent).
Si la derivada primera d'una funció de beneficis B′(x) és NEGATIVA a l'interval (100,200), què vol dir?
El signe de la derivada ens indica exclusivament la direcció de la funció. Derivada negativa = funció decreixent. (Atenció: guanyar menys no vol dir tenir pèrdues, només que el benefici va de baixada).
Volem trobar la funció d'Ingressos totals I(x) a partir de la funció d'Ingressos Marginals I′(x). Quina operació matemàtica hem de realitzar?
El Teorema Fonamental del Càlcul ens diu que la integració és l'operació inversa a la derivació. Per recuperar una funció "total" a partir d'una funció "marginal", hem d'integrar.
La Regla de Barrow serveix per calcular la integral definida d'una funció f(x) entre a i b. La seva fórmula és:
Un cop calculada la primitiva F(x) (la funció integrada), avaluem aquesta funció a l'extrem superior de l'interval i li restem el resultat d'avaluar-la a l'extrem inferior.
Si la funció de beneficis d'una empresa f(x) és sempre negativa entre l'any x=2 i l'any x=5, en calcular la integral definida ∫25f(x)dx, quin resultat obtindrem?
La integral definida (sense posar valors absoluts) retorna el valor algebraic pur. Si la funció està per sota de l'eix X, l'àrea comptarà en negatiu, indicant una pèrdua acumulada de beneficis.
Si volem calcular L'ÀREA geomètrica compresa entre la funció f(x)=x2−4 i l'eix OX (y=0), abans d'integrar OBLIGATÒRIAMENT hem de:
Per calcular àrees de manera correcta, hem de veure en quins punts la funció creua l'eix d'abscisses, ja que si una part de l'àrea cau per sota de l'eix i una altra per sobre, sense dividir l'interval s'anul·larien erròniament.
Quant val la integral indefinida més senzilla d'un polinomi simple: ∫x3dx?
La regla bàsica d'integració de potències és: sumar 1 a l'exponent i dividir pel nou exponent resultant. Això s'aplica per a qualsevol potència excepte per a l'exponent -1.
Quina és la raó matemàtica per incloure la lletra +C (la constant d'integració) en resoldre una integral indefinida?
Si derives F(x)=x2+5 dóna 2x. Si derives F(x)=x2−100 també dóna 2x. Per tant, l'antiderivada de 2x inclou totes aquestes infinites possibilitats marcades pel terme genèric +C.
Volem calcular l'àrea compresa entre les corbes de Costos C(x) i Ingressos I(x) entre x=10 i x=50. L'expressió de l'integral serà:
Per calcular l'àrea entre dues corbes, cal fer la integral de la seva resta (funció superior menys inferior). Per assegurar un valor positiu d'àrea sense haver de dibuixar-les per veure quina va per sobre, es pren el valor absolut de la diferència.
L'àrea del recinte limitat per la funció de densitat d'una distribució de probabilitat (com la Normal) i l'eix d'abscisses sempre val:
En estadística, l'àrea total sota la corba d'una funció de densitat representa el 100% de les probabilitats de l'espai mostral. En valor numèric, aquest 100% equival a una àrea matemàtica d'1.
A quina funció pròpia de MACS II dóna lloc la integral ∫x1dx?
Com dèiem, és l'única excepció de la regla de les potències (ja que donaria divisió per 0). L'antiderivada de x−1 (o 1/x) és la funció logaritme neperià en valor absolut.
Si derivem una funció de costos C(x) per trobar el cost marginal, i tot seguit, integrem aquest resultat, què obtenim finalment?
En encadenar una derivada amb una integral s'anul·la l'efecte operatiu (com elevar al quadrat i després fer l'arrel). Tot i això, al derivar s'esborren els costos fixos (les constants numèriques soltes), i al reintegrar, aquests costos fixos queden emmascarats sota la "C" de la constant d'integració.