Si A y B son dos sucesos INCOMPATIBLES (que no pueden ocurrir a la vez), ¿cuánto vale la probabilidad de su unión P(A∪B)?
Como son incompatibles, su intersección es vacía (P(A∩B)=0). Por tanto, la fórmula general de la unión se simplifica a la suma directa de las probabilidades.
La probabilidad de que un cliente compre un producto A es 0.4. La probabilidad de que compre el producto B es 0.3. Si sabemos que la compra de B es INDEPENDIENTE de la compra de A, ¿cuál es la probabilidad de que compre ambos productos?
Si dos sucesos son independientes, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0.4⋅0.3=0.12.
En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nudo debe ser siempre:
Las ramas que salen de un nudo representan todas las opciones posibles (un sistema completo de sucesos). Por tanto, la suma de sus probabilidades debe ser siempre el 100% (es decir, 1).
El Teorema de Bayes se utiliza principalmente para calcular:
Bayes se utiliza cuando ya conocemos el resultado (ej: "sabemos que la pieza es defectuosa") y queremos "volver atrás" en el árbol para saber qué máquina la ha producido: P(A∣B)=P(A∩B)/P(B).
De una baraja de cartas se extraen dos cartas CONSECUTIVAMENTE Y SIN REPOSICIÓN. ¿Qué podemos afirmar de los sucesos?
Al no devolver la primera carta a la baraja, el espacio muestral cambia (hay una carta menos). Por tanto, el resultado de la primera extracción condiciona directamente la probabilidad de la segunda. Son dependientes.
Las Leyes de De Morgan afirman que la probabilidad del contrario de la unión P(A∪B) es igual a:
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios. "No ocurre ni A ni B" es lo mismo que "No ocurre A, y a la vez, no ocurre B".
Si P(A)=0.6, ¿cuánto vale la probabilidad de su suceso contrario o complementario P(A)?
La probabilidad de un suceso y la de su contrario suman siempre 1. Entonces, P(A)=1−P(A)=1−0.6=0.4.
En la fórmula de la probabilidad condicionada P(A∣B)=P(B)P(A∩B), el denominador P(B) representa:
Cuando condicionamos a B, estamos descartando todos los casos donde B no ocurre. Nuestro "nuevo total" de opciones (el denominador) pasa a ser exclusivamente la probabilidad de B.
Para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A PERO NO ocurra el suceso B (A−B), utilizamos la fórmula:
A la probabilidad total del círculo A hay que restarle el "trozo" que comparte con B (la intersección), para quedarnos solo con la parte exclusiva de A.
Si en un problema nos dicen: "el 20% de los trabajadores son directivos, y de estos, el 40% son mujeres", ¿qué operación haremos para hallar la probabilidad de ser "Directivo Y Mujer"?
Este es el típico camino de un diagrama de árbol. Estamos calculando la intersección de sucesos dependientes: P(Directivo∩Mujer)=P(Directivo)⋅P(Mujer∣Directivo).
En una Distribución Normal Estándar N(0,1), ¿qué representa la tabla de probabilidades que nos dan en el examen?
La tabla de la normal acumula la probabilidad desde −∞ hasta un valor z positivo. Da siempre el área que queda a la izquierda de la curva.
Tenemos una variable aleatoria X que sigue una distribución Normal N(μ=50,σ=10). ¿Cómo la "tipificamos" para poder usar la tabla de la Normal Z(0,1)?
La fórmula de tipificación es Z=σX−μ. Se resta la media poblacional y se divide entre la desviación típica.
Si la media de las notas de una muestra de alumnos es 6,5, ¿dónde estará situado el centro del Intervalo de Confianza para la media de toda la población?
El intervalo de confianza se construye siempre de forma simétrica sumando y restando el Error Máximo alrededor de la media de la muestra (xˉ). El centro siempre es xˉ.
Si AUMENTAMOS el tamaño de la muestra (n) de un estudio estadístico manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué le pasa a la amplitud del Intervalo de Confianza?
El Error Máximo es E=zα/2⋅nσ. Como n está en el denominador, si n crece, el error disminuye, haciendo que el intervalo sea más estrecho y tengamos más precisión.
Queremos un nivel de confianza del 95% (1−α=0.95). ¿Qué valor de zα/2 buscaremos en la tabla para poner en la fórmula del error?
Si la confianza es 0.95, sobra un α=0.05. Como la curva tiene dos colas, dividimos α/2=0.025. En la tabla hay que buscar el área 0.95+0.025=0.975, que corresponde a z=1.96.
Si queremos hallar la probabilidad de que una variable Normal Z sea MAYOR que 1.5 (P(Z>1.5)), ¿cómo lo calculamos con la tabla?
Como el área total bajo la campana es 1, y la tabla solo nos da probabilidades "menores que" (hacia la izquierda), para hallar el área de la derecha hay que restar el área izquierda a 1.
Para cualquier variable aleatoria continua (como la Distribución Normal), ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor EXACTO (ej: P(X=25))?
En una distribución continua, hay infinitos valores posibles. El área bajo la curva para un solo punto (sin anchura) es nula. Por eso P(X=a)=0 y siempre calculamos probabilidades en intervalos (P(X≤a)).
La fórmula para calcular el tamaño MÍNIMO de la muestra (n) necesaria para no superar un error E determinado es:
Esta fórmula sale de aislar la n de la fórmula del Error Máximo E=zα/2⋅nσ. Hay que recordar que el resultado siempre debe redondearse hacia el entero superior.
En un intervalo de confianza, la diferencia entre el límite superior del intervalo y el límite inferior equivale a:
Como el intervalo es (xˉ−E,xˉ+E), la anchura total del intervalo (límite superior menos límite inferior) mide exactamente el doble del error (2E).
¿Cómo se resuelve la probabilidad de un número negativo en la tabla Normal P(Z≤−a) donde a>0?
Por la simetría geométrica de la Campana de Gauss respecto al eje Y, el área a la izquierda de un valor negativo (la cola izquierda) es exactamente igual al área a la derecha de ese mismo valor en positivo (la cola derecha).
Para poder multiplicar dos matrices, A⋅B, ¿qué condición geométrica de dimensiones se debe cumplir estrictamente?
Esta es la regla fundamental del producto de matrices. Si A es de orden (m×n) y B es de orden (p×q), el producto solo es posible si n=p. La matriz resultante tendrá dimensión (m×q).
Tenemos un sistema de ecuaciones lineales que representa las ventas de tres tipos de productos en una empresa. Si resolvemos el sistema y encontramos que es un "Sistema Incompatible", ¿qué significa económicamente?
Un sistema incompatible (SI) significa matemáticamente que las ecuaciones no se pueden satisfacer simultáneamente. En un problema real, significa que los datos proporcionados (las ventas y los ingresos) son incongruentes.
Queremos resolver la ecuación matricial A⋅X+B=C, sabiendo que A es invertible. ¿Cuál es el paso correcto para aislar X?
Primero pasamos B restando: A⋅X=C−B. Para quitar la A (que multiplica por la izquierda), debemos multiplicar por A−1 OBLIGATORIAMENTE por la izquierda en el otro lado de la igualdad.
Según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema tiene infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado) cuando:
Como el rango es menor que el número de incógnitas, significa que nos sobran variables que actúan como "parámetros libres", generando infinitas combinaciones que solucionan el sistema.
Una matriz cuadrada NO tiene matriz inversa (es singular) cuando:
En la fórmula de la matriz inversa (A−1=∣A∣1Adj(A)T), dividimos entre el determinante. Si el determinante es cero, la operación matemática no existe.
La matriz Identidad I cumple una propiedad fundamental en la multiplicación de matrices. ¿Cuál?
La matriz identidad actúa exactamente como el número "1" en el álgebra de números reales. Es el elemento neutro de la multiplicación.
Si transponemos una matriz (cambiamos filas por columnas), ¿qué pasa con su determinante?
Esta es una propiedad fundamental. Un determinante se puede desarrollar por filas o por columnas obteniendo exactamente el mismo valor. Por tanto, la matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante.
Tenemos una empresa que fabrica dos tipos de muebles con tres tipos de madera. Si queremos construir una matriz para resolver los precios de los materiales, ¿qué método es el más directo si el sistema resulta ser cuadrado y compatible determinado?
La Regla de Cramer (x=∣Ax∣/∣A∣) es el método más eficaz y pautado para resolver sistemas cuadrados con una única solución (SCD) de forma directa mediante determinantes.
En la matriz ampliada (A∗) de un sistema de ecuaciones de economía, ¿qué colocamos en la última columna?
La matriz ampliada se escribe añadiendo una columna extra a la matriz de coeficientes. Esa columna contiene las constantes que están a la derecha del signo "=" en las ecuaciones lineales.
Si se intercambian dos filas en una matriz 3×3, su determinante:
Por las propiedades de los determinantes, cada vez que se intercambian dos líneas paralelas (sean filas o columnas), el valor del determinante se multiplica por -1.
En economía, si tenemos una función que modela los Ingresos I(x) y otra que modela los Costes C(x) para producir x unidades, ¿cómo obtenemos la función de Beneficios B(x)?
El beneficio económico es la diferencia entre todo el dinero que entra en la caja (Ingresos) menos todo el dinero que cuesta fabricar el producto (Costes).
Queremos MAXIMIZAR los beneficios de una empresa. Desde el punto de vista matemático, ¿cuál es el primer paso que debemos dar con la función de beneficios B(x)?
La optimización de funciones pasa siempre por encontrar los puntos críticos (donde la pendiente de la recta tangente es cero). Esto se consigue resolviendo B′(x)=0.
Una vez hemos encontrado el número de unidades x que hace que B′(x)=0, ¿cómo aseguramos matemáticamente que ese punto es un MÁXIMO de beneficios y no un mínimo?
Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico, la función tiene forma convexa o de "M" (curvada hacia abajo), lo que confirma que nos encontramos en la cima de la montaña (un máximo).
Una función definida a trozos representa el coste de la luz según la hora. Para comprobar si la función no tiene saltos bruscos de precio (es CONTINUA) en el momento del cambio de tramo (ej: x=12), ¿qué se debe cumplir?
Esta es la condición ineludible de continuidad en un punto: limx→12−f(x)=limx→12+f(x)=f(12). Los dos tramos deben "conectarse" exactamente a la misma altura.
El concepto económico de "Coste Marginal" se traduce matemáticamente como:
En economía, cualquier magnitud "marginal" equivale a la derivada de la magnitud total respecto a la cantidad producida x. Indica el incremento de coste por producir una unidad adicional.
Queremos predecir hacia dónde tiende la deuda de un país a largo plazo si aplicamos el modelo matemático f(t)=t+23t+5 donde t son los años. ¿Qué estamos buscando?
El comportamiento a "largo plazo" significa cuando el tiempo se escapa hacia el infinito. Calcular el límite en el infinito de esta función racional nos dará 3, su asíntota horizontal.
El dominio de una función polinómica de grado 3 (tipo f(x)=2x3−5x2+x−1) es:
Las funciones polinómicas, muy usadas en el ajuste de modelos económicos simples, no tienen denominadores ni raíces, por lo que nunca presentan discontinuidades y su dominio siempre es R.
La derivada de la función constante f(x)=5000 (que representa un coste fijo de alquiler que no depende del volumen de producción) vale:
La derivada mide la tasa de cambio. Como el coste fijo no cambia nunca, independientemente de las unidades que fabriquemos, su tasa de cambio es 0.
¿Qué nos indica un punto de inflexión en la gráfica de evolución del paro de un país a lo largo de los meses?
El punto de inflexión (donde f′′(x)=0) marca el cambio de concavidad a convexidad (o al revés). En una crisis, significa que las cosas siguen empeorando (crece), pero el ritmo de empeoramiento se está frenando (pasa de crecer rápido a crecer lento).
Si la derivada primera de una función de beneficios B′(x) es NEGATIVA en el intervalo (100,200), ¿qué significa?
El signo de la derivada nos indica exclusivamente la dirección de la función. Derivada negativa = función decreciente. (Atención: ganar menos no significa tener pérdidas, solo que el beneficio va a la baja).
Queremos hallar la función de Ingresos totales I(x) a partir de la función de Ingresos Marginales I′(x). ¿Qué operación matemática debemos realizar?
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integración es la operación inversa a la derivación. Para recuperar una función "total" a partir de una función "marginal", debemos integrar.
La Regla de Barrow sirve para calcular la integral definida de una función f(x) entre a y b. Su fórmula es:
Una vez calculada la primitiva F(x) (la función integrada), evaluamos esa función en el extremo superior del intervalo y le restamos el resultado de evaluarla en el extremo inferior.
Si la función de beneficios de una empresa f(x) es siempre negativa entre el año x=2 y el año x=5, al calcular la integral definida ∫25f(x)dx, ¿qué resultado obtendremos?
La integral definida (sin poner valores absolutos) devuelve el valor algebraico puro. Si la función está por debajo del eje X, el área contará en negativo, indicando una pérdida acumulada de beneficios.
Si queremos calcular EL ÁREA geométrica comprendida entre la función f(x)=x2−4 y el eje OX (y=0), antes de integrar OBLIGATORIAMENTE debemos:
Para calcular áreas de forma correcta, hay que ver en qué puntos la función cruza el eje de abscisas, ya que si una parte del área cae por debajo del eje y otra por encima, sin dividir el intervalo se anularían erróneamente.
¿Cuánto vale la integral indefinida más sencilla de un polinomio simple: ∫x3dx?
La regla básica de integración de potencias es: sumar 1 al exponente y dividir entre el nuevo exponente resultante. Esto se aplica para cualquier potencia excepto para el exponente -1.
¿Cuál es la razón matemática para incluir la letra +C (la constante de integración) al resolver una integral indefinida?
Si derivas F(x)=x2+5 da 2x. Si derivas F(x)=x2−100 también da 2x. Por tanto, la antiderivada de 2x incluye todas esas infinitas posibilidades marcadas por el término genérico +C.
Queremos calcular el área comprendida entre las curvas de Costes C(x) e Ingresos I(x) entre x=10 y x=50. La expresión de la integral será:
Para calcular el área entre dos curvas, hay que hacer la integral de su resta (función superior menos inferior). Para asegurar un valor positivo de área sin tener que dibujarlas para ver cuál va por encima, se toma el valor absoluto de la diferencia.
El área del recinto limitado por la función de densidad de una distribución de probabilidad (como la Normal) y el eje de abscisas siempre vale:
En estadística, el área total bajo la curva de una función de densidad representa el 100% de las probabilidades del espacio muestral. En valor numérico, ese 100% equivale a un área matemática de 1.
¿A qué función propia de MACS II da lugar la integral ∫x1dx?
Como decíamos, es la única excepción de la regla de las potencias (ya que daría división entre 0). La antiderivada de x−1 (o 1/x) es la función logaritmo neperiano en valor absoluto.
Si derivamos una función de costes C(x) para hallar el coste marginal, y a continuación integramos ese resultado, ¿qué obtenemos finalmente?
Al encadenar una derivada con una integral se anula el efecto operativo (como elevar al cuadrado y después hacer la raíz). Aun así, al derivar se borran los costes fijos (las constantes numéricas sueltas), y al reintegrar, esos costes fijos quedan enmascarados bajo la "C" de la constante de integración.