MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II - RESUM PAU

1. PROBABILITAT (Part A - Obligatòria)

Successos i Fórmules Bàsiques: Sempre s’han de definir els successos amb lletres majúscules (Ex: $A=$ “Llegir el diari”).

• Unió: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Succés contrari: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• Lleis de De Morgan: $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})$ i $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B})$
• Diferència: $P(A - B) = P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

Probabilitat Condicionada i Independència: La probabilitat que passi $A$ sabent que ha passat $B$: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$ Dos successos són independents si (i només si): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Teoremes Fonamentals (Ús de Diagrames d’Arbre):

• Teorema de la Probabilitat Total: $P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + \dots$
• Teorema de Bayes: Serveix per calcular probabilitats “cap enrere” a l’arbre: $P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)}$

2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL (Part A - Obligatòria)

La Distribució Normal: Sempre s’ha d’escriure la notació: $X \sim N(\mu, \sigma)$. Per poder cercar probabilitats a la taula, s’ha de tipificar la variable per passar a una normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Intervals de Confiança per a la Mitjana Poblacional: Donada una mostra de mida $n$ amb una mitjana mostral $\bar{x}$, i una desviació típica poblacional $\sigma$: $IC = \left( \bar{x} - E, \, \bar{x} + E \right)$ On l’Error Màxim Admès ($E$) es calcula com: $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Mida de la Mostra: Si volem assegurar un error màxim $E$ amb un nivell de confiança $1 - \alpha$, la mida mínima de la mostra s’obté aïllant la $n$: $n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$ (Recordatori: La mida de la mostra $n$ sempre s’ha d’arrodonir cap a l’enter superior per assegurar que l’error no se superi).

3. ÀLGEBRA (Part B)

Matrius i Operacions: Per multiplicar matrius ($A \cdot B$), el nombre de columnes de $A$ ha de coincidir amb el nombre de files de $B$. $A \cdot I = I \cdot A = A$ Matriu Inversa: Una matriu $A$ és invertible si $|A| \neq 0$. $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$

Equacions Matricials: Compte! El producte de matrius no és commutatiu. Cal multiplicar per la inversa pel costat correcte.

• Si $A \cdot X + B = C \Rightarrow A \cdot X = C - B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot (C - B)$
• Si $X \cdot A = B \Rightarrow X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \Rightarrow X = B \cdot A^{-1}$

Sistemes d’Equacions (Cramer i Rouché-Frobenius):

• Si $|A| \neq 0 \Rightarrow$ Sistema Compatible Determinat (1 solució).
• Si $|A| = 0 \Rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminat o Incompatible.

4. ANÀLISI (Part C)

Continuïtat i Derivabilitat: Una funció $f(x)$ definida a trossos és contínua en $x=a$ si: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ És derivable si, a més de ser contínua, compleix que: $f'(a^-) = f'(a^+)$

Aplicacions de la Derivada (Optimització):

1. Es calcula la funció a optimitzar.
2. Es troben els punts crítics igualant la derivada a zero: $f'(x) = 0$.
3. Es comprova si és màxim o mínim analitzant el signe de la derivada abans i després del punt, o usant la segona derivada:
   • Si $f''(x) > 0 \Rightarrow$ Mínim.
   • Si $f''(x) < 0 \Rightarrow$ Màxim.

Integrals i Càlcul d’Àrees: Sempre s’ha d’incloure el diferencial $dx$. Àrea compresa entre una funció $f(x)$ i l’eix OX entre $x=a$ i $x=b$: $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$ (S’han de trobar els punts de tall amb l’eix $OX$ igualant $f(x)=0$ per dividir la integral en trossos si la funció canvia de signe).