MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II - RESUMEN PAU

1. PROBABILIDAD (Parte A - Obligatoria)

Sucesos y Fórmulas Básicas: Siempre hay que definir los sucesos con letras mayúsculas (Ej: $A=$ “Leer el periódico”).

• Unión: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Suceso contrario: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• Leyes de De Morgan: $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})$ y $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B})$
• Diferencia: $P(A - B) = P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

Probabilidad Condicionada e Independencia: La probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$ Dos sucesos son independientes si (y solo si): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Teoremas Fundamentales (Uso de Diagramas de Árbol):

• Teorema de la Probabilidad Total: $P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + \dots$
• Teorema de Bayes: Sirve para calcular probabilidades “hacia atrás” en el árbol: $P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)}$

2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL (Parte A - Obligatoria)

La Distribución Normal: Siempre hay que escribir la notación: $X \sim N(\mu, \sigma)$. Para poder buscar probabilidades en la tabla, hay que tipificar la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Intervalos de Confianza para la Media Poblacional: Dada una muestra de tamaño $n$ con una media muestral $\bar{x}$, y una desviación típica poblacional $\sigma$: $IC = \left( \bar{x} - E, \, \bar{x} + E \right)$ Donde el Error Máximo Admitido ($E$) se calcula como: $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Tamaño de la Muestra: Si queremos asegurar un error máximo $E$ con un nivel de confianza $1 - \alpha$, el tamaño mínimo de la muestra se obtiene aislando la $n$: $n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$ (Recordatorio: El tamaño de la muestra $n$ siempre debe redondearse hacia el entero superior para asegurar que el error no se supere).

3. ÁLGEBRA (Parte B)

Matrices y Operaciones: Para multiplicar matrices ($A \cdot B$), el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$. $A \cdot I = I \cdot A = A$ Matriz Inversa: Una matriz $A$ es invertible si $|A| \neq 0$. $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$

Ecuaciones Matriciales: ¡Cuidado! El producto de matrices no es conmutativo. Hay que multiplicar por la inversa por el lado correcto.

• Si $A \cdot X + B = C \Rightarrow A \cdot X = C - B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot (C - B)$
• Si $X \cdot A = B \Rightarrow X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \Rightarrow X = B \cdot A^{-1}$

Sistemas de Ecuaciones (Cramer y Rouché-Frobenius):

• Si $|A| \neq 0 \Rightarrow$ Sistema Compatible Determinado (1 solución).
• Si $|A| = 0 \Rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminado o Incompatible.

4. ANÁLISIS (Parte C)

Continuidad y Derivabilidad: Una función $f(x)$ definida a trozos es continua en $x=a$ si: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ Es derivable si, además de ser continua, cumple que: $f'(a^-) = f'(a^+)$

Aplicaciones de la Derivada (Optimización):

1. Se calcula la función a optimizar.
2. Se hallan los puntos críticos igualando la derivada a cero: $f'(x) = 0$.
3. Se comprueba si es máximo o mínimo analizando el signo de la derivada antes y después del punto, o usando la segunda derivada:
   • Si $f''(x) > 0 \Rightarrow$ Mínimo.
   • Si $f''(x) < 0 \Rightarrow$ Máximo.

Integrales y Cálculo de Áreas: Hay que incluir siempre el diferencial $dx$. Área comprendida entre una función $f(x)$ y el eje OX entre $x=a$ y $x=b$: $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$ (Hay que encontrar los puntos de corte con el eje $OX$ igualando $f(x)=0$ para dividir la integral en tramos si la función cambia de signo).