Según la axiomática básica, si dos sucesos A y B son incompatibles (mutuamente excluyentes), se cumple que:
Incompatibles significa que no pueden darse a la vez. Su intersección es el conjunto vacío y, por tanto, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es cero.
Dos sucesos A y B se llaman INDEPENDIENTES si se cumple la igualdad:
Esta es la regla fundamental para demostrar la independencia en un problema de la UIB. Si conocer B no altera la probabilidad de A, entonces P(A∩B) es simplemente el producto de las dos probabilidades.
La fórmula de la probabilidad condicionada del suceso A sabiendo que ha ocurrido B es P(A∣B)=
Limitamos nuestro espacio muestral al suceso que YA SABEMOS que ha pasado (B). Por eso P(B) va en el denominador. En el numerador ponemos la parte común donde ocurren ambos (A∩B).
¿Qué predicen las Leyes de De Morgan sobre la probabilidad del contrario de la unión: P(A∪B)?
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios: "No ocurre ni A ni B" equivale a decir "No ocurre A Y, al mismo tiempo, no ocurre B".
Una urna tiene bolas blancas y negras. Se sacan dos bolas de la urna sin reposición. La probabilidad de la segunda extracción depende del resultado de la primera. ¿Cómo se puede modelar eficazmente?
Cuando hay experimentos compuestos (paso a paso) donde el espacio muestral va cambiando por falta de reposición, el diagrama de árbol refleja claramente cómo cambian las probabilidades (las ramas son los condicionantes).
La expresión P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) recibe el nombre de:
Es fundamental restar la intersección porque, si sumamos P(A) y P(B), estamos contando los casos donde ocurren ambos sucesos de forma duplicada.
¿Qué teorema utilizamos frecuentemente en los problemas de diagramas de árbol para recorrer las ramas "hacia atrás" y descubrir el origen de un resultado que ya se ha producido (ej: sabemos que una pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Máquina A)?
El Teorema de Bayes calcula la probabilidad "a posteriori". Permite intercambiar el condicionante (P(Ai∣B) cuando conocemos P(B∣Ai) y P(Ai)). El denominador siempre es la probabilidad total de B.
¿Cuánto suma siempre la probabilidad de un suceso y la de su suceso contrario: P(A)+P(A)?
El espacio muestral entero (todo lo que puede ocurrir) tiene probabilidad 1 (o 100%). Un suceso o bien ocurre, o bien no ocurre; por tanto forman un sistema completo de sucesos.
Tenemos el suceso "Aprobar Matemáticas" y el suceso "Ser de otra Galaxia". Si estos dos sucesos son totalmente independientes, ¿cuánto vale P(Aprobar∣Galaxia)?
Si dos sucesos son independientes, saber que ha ocurrido uno no aporta absolutamente ninguna información nueva sobre el otro. Por tanto, la probabilidad condicionada se reduce a la probabilidad original: P(A∣B)=P(A).
Para calcular la probabilidad de una diferencia de sucesos (que ocurra A pero NO ocurra B), ¿qué expresión se utiliza?
A la probabilidad total de que ocurra A, solo hay que quitarle la "porción" donde A y B se solapan (la intersección), así te quedará solo la parte donde A ocurre exclusivamente sin interferencia de B.