La Regla de Barrow para calcular la integral definida ∫abf(x)dx establece que su valor es:
La Regla de Barrow nos dice que evaluando la función primitiva en el extremo superior y restándole el valor en el extremo inferior obtenemos la integral definida.
Si se quiere calcular el área comprendida entre el eje de abscisas (y=0) y la función f(x) en el intervalo [a,b], ¿cuál es el primer paso fundamental en el examen de la PAU?
Si la función corta el eje de abscisas dentro del intervalo [a,b], cambiará de signo y algunas áreas serán "negativas". Hay que dividir la integral en tramos para tomar el valor absoluto de cada parte y sumarlas correctamente.
La fórmula de integración por partes se escribe como: ∫udv=
Conocida mnemotécnicamente como "Un Día Vi Una Vaca Menos Integrando Vestida De Uniforme".
La primitiva principal de la función f(x)=x1 es:
Es la excepción a la regla de la potencia para integrar xn. Cuando n=−1, la integral genera un logaritmo neperiano. El valor absoluto garantiza que esté definido para valores negativos.
Según el Teorema de Rolle, si f(x) es continua en [a,b], derivable en (a,b) y además se cumple que f(a)=f(b), entonces:
Como la función parte de una altura y vuelve exactamente a la misma altura (f(a)=f(b)), forzosamente ha debido "girar" (si no es constante), de manera que hay un punto donde la recta tangente es horizontal.
Si f(x) es una función IMPAR (simetría respecto al origen, f(−x)=−f(x)), ¿cuánto vale la integral definida ∫−aaf(x)dx?
En una función impar (como sin(x) o x3), el área generada en el lado negativo del eje se cancela algebraicamente con el área generada en el lado positivo, dando un resultado neto de 0.
El área de la región del plano limitada por dos funciones f(x) y g(x) que se cortan en los puntos x=a y x=b se calcula como:
Siempre hay que integrar la función "techo" menos la función "suelo". Si no sabemos cuál va por encima, poner toda la diferencia en valor absoluto nos asegura un resultado de área positivo.
¿Qué técnica de integración recomienda el acrónimo ALPES / ILATE para elegir la función 'u'?
Sirve para determinar la prioridad de sustitución de u: (I)nversas trigonométricas, (L)ogarítmicas, (A)lgebraicas, (T/P)rigonométricas, (E)xponenciales.
En un problema de optimización (por ejemplo minimizar material de un cilindro), una vez obtenida la función de una variable, ¿cómo garantizamos que el punto encontrado es un mínimo?
Encontrar dónde f′(x)=0 nos da los puntos críticos. Si al sustituirlos en la segunda derivada el resultado es positivo, se trata de un mínimo (curvatura cóncava en forma de "U").
El Teorema Fundamental del Cálculo relaciona dos operaciones matemáticas que, siendo de naturaleza diferente, resultan ser inversas. ¿Cuáles son?
Nos dice que si derivamos la función integral F(x)=∫axf(t)dt, obtendremos la misma función original f(x). Esto permite usar la regla de Barrow de manera práctica.