Queremos hallar la función de Ingresos totales I(x) a partir de la función de Ingresos Marginales I′(x). ¿Qué operación matemática debemos realizar?
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integración es la operación inversa a la derivación. Para recuperar una función "total" a partir de una función "marginal", debemos integrar.
La Regla de Barrow sirve para calcular la integral definida de una función f(x) entre a y b. Su fórmula es:
Una vez calculada la primitiva F(x) (la función integrada), evaluamos esa función en el extremo superior del intervalo y le restamos el resultado de evaluarla en el extremo inferior.
Si la función de beneficios de una empresa f(x) es siempre negativa entre el año x=2 y el año x=5, al calcular la integral definida ∫25f(x)dx, ¿qué resultado obtendremos?
La integral definida (sin poner valores absolutos) devuelve el valor algebraico puro. Si la función está por debajo del eje X, el área contará en negativo, indicando una pérdida acumulada de beneficios.
Si queremos calcular EL ÁREA geométrica comprendida entre la función f(x)=x2−4 y el eje OX (y=0), antes de integrar OBLIGATORIAMENTE debemos:
Para calcular áreas de forma correcta, hay que ver en qué puntos la función cruza el eje de abscisas, ya que si una parte del área cae por debajo del eje y otra por encima, sin dividir el intervalo se anularían erróneamente.
¿Cuánto vale la integral indefinida más sencilla de un polinomio simple: ∫x3dx?
La regla básica de integración de potencias es: sumar 1 al exponente y dividir entre el nuevo exponente resultante. Esto se aplica para cualquier potencia excepto para el exponente -1.
¿Cuál es la razón matemática para incluir la letra +C (la constante de integración) al resolver una integral indefinida?
Si derivas F(x)=x2+5 da 2x. Si derivas F(x)=x2−100 también da 2x. Por tanto, la antiderivada de 2x incluye todas esas infinitas posibilidades marcadas por el término genérico +C.
Queremos calcular el área comprendida entre las curvas de Costes C(x) e Ingresos I(x) entre x=10 y x=50. La expresión de la integral será:
Para calcular el área entre dos curvas, hay que hacer la integral de su resta (función superior menos inferior). Para asegurar un valor positivo de área sin tener que dibujarlas para ver cuál va por encima, se toma el valor absoluto de la diferencia.
El área del recinto limitado por la función de densidad de una distribución de probabilidad (como la Normal) y el eje de abscisas siempre vale:
En estadística, el área total bajo la curva de una función de densidad representa el 100% de las probabilidades del espacio muestral. En valor numérico, ese 100% equivale a un área matemática de 1.
¿A qué función propia de MACS II da lugar la integral ∫x1dx?
Como decíamos, es la única excepción de la regla de las potencias (ya que daría división entre 0). La antiderivada de x−1 (o 1/x) es la función logaritmo neperiano en valor absoluto.
Si derivamos una función de costes C(x) para hallar el coste marginal, y a continuación integramos ese resultado, ¿qué obtenemos finalmente?
Al encadenar una derivada con una integral se anula el efecto operativo (como elevar al cuadrado y después hacer la raíz). Aun así, al derivar se borran los costes fijos (las constantes numéricas sueltas), y al reintegrar, esos costes fijos quedan enmascarados bajo la "C" de la constante de integración.