En economía, si tenemos una función que modela los Ingresos I(x) y otra que modela los Costes C(x) para producir x unidades, ¿cómo obtenemos la función de Beneficios B(x)?
El beneficio económico es la diferencia entre todo el dinero que entra en la caja (Ingresos) menos todo el dinero que cuesta fabricar el producto (Costes).
Queremos MAXIMIZAR los beneficios de una empresa. Desde el punto de vista matemático, ¿cuál es el primer paso que debemos dar con la función de beneficios B(x)?
La optimización de funciones pasa siempre por encontrar los puntos críticos (donde la pendiente de la recta tangente es cero). Esto se consigue resolviendo B′(x)=0.
Una vez hemos encontrado el número de unidades x que hace que B′(x)=0, ¿cómo aseguramos matemáticamente que ese punto es un MÁXIMO de beneficios y no un mínimo?
Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico, la función tiene forma convexa o de "M" (curvada hacia abajo), lo que confirma que nos encontramos en la cima de la montaña (un máximo).
Una función definida a trozos representa el coste de la luz según la hora. Para comprobar si la función no tiene saltos bruscos de precio (es CONTINUA) en el momento del cambio de tramo (ej: x=12), ¿qué se debe cumplir?
Esta es la condición ineludible de continuidad en un punto: limx→12−f(x)=limx→12+f(x)=f(12). Los dos tramos deben "conectarse" exactamente a la misma altura.
El concepto económico de "Coste Marginal" se traduce matemáticamente como:
En economía, cualquier magnitud "marginal" equivale a la derivada de la magnitud total respecto a la cantidad producida x. Indica el incremento de coste por producir una unidad adicional.
Queremos predecir hacia dónde tiende la deuda de un país a largo plazo si aplicamos el modelo matemático f(t)=t+23t+5 donde t son los años. ¿Qué estamos buscando?
El comportamiento a "largo plazo" significa cuando el tiempo se escapa hacia el infinito. Calcular el límite en el infinito de esta función racional nos dará 3, su asíntota horizontal.
El dominio de una función polinómica de grado 3 (tipo f(x)=2x3−5x2+x−1) es:
Las funciones polinómicas, muy usadas en el ajuste de modelos económicos simples, no tienen denominadores ni raíces, por lo que nunca presentan discontinuidades y su dominio siempre es R.
La derivada de la función constante f(x)=5000 (que representa un coste fijo de alquiler que no depende del volumen de producción) vale:
La derivada mide la tasa de cambio. Como el coste fijo no cambia nunca, independientemente de las unidades que fabriquemos, su tasa de cambio es 0.
¿Qué nos indica un punto de inflexión en la gráfica de evolución del paro de un país a lo largo de los meses?
El punto de inflexión (donde f′′(x)=0) marca el cambio de concavidad a convexidad (o al revés). En una crisis, significa que las cosas siguen empeorando (crece), pero el ritmo de empeoramiento se está frenando (pasa de crecer rápido a crecer lento).
Si la derivada primera de una función de beneficios B′(x) es NEGATIVA en el intervalo (100,200), ¿qué significa?
El signo de la derivada nos indica exclusivamente la dirección de la función. Derivada negativa = función decreciente. (Atención: ganar menos no significa tener pérdidas, solo que el beneficio va a la baja).